লেখক:

        সমর্পণ বিশ্বাস

           ৯ম শ্রেণী

           খুলনা জিলা স্কুল, খুলনা। 

 

সারসংক্ষেপঃ

                     সংখ্যারেখার উপর অবস্থিত সকল সকল সংখ্যাকে নিয়ে যদি একটা বিশাল পরিবার কল্পনা করা যায়, তবে সেই পরিবারে থাকবে অসীম সংখ্যক সদস্য এই পরিবারের পিতা নিঃসন্দেহে শুন্য () হবে কারণ শুন্য থেকেই উভয় দিকে এত সংখ্যার উৎপত্তি আবার, পিতার এত সকল সংখ্যাদের মধ্যে সবচেয়ে অবাধ্য সন্তান হলো π হাজার চেষ্টা করেও একে ভালভাবে ধরা যায় না এর যত কাছাকাছিই যাওয়া হক না কেন, এটি সবসময় থাকে ধরাছোয়ার বাইরে এই দুই কিংবদন্তী সংখ্যা এবং এদের মধ্যবর্তী অন্যান্য সংখ্যাদের নিয়ে কিছু কথা বলা হলো এখানে

 

শুন্যের আখ্যানঃ

                        শুন্যের আখ্যান বলে শেষ করার মতো নয় প্রথম দিকে শুন্যের ব্যবহার ছিলই না এজন্য রোমান সংখ্যায় কোথাও শুন্যের অস্তিত্ব নেই শুন্যের গোড়াপত্তন হয় অনেক পরে, যীশু খ্রীষ্টের জন্মেরও বহু বছর বাদে, ভারতীয় গণিতবিদদের হাতে অথচ মাত্র ১৫০০ বছরের মধ্যে শুন্য ছাড়া গনিতের অস্তিত্ব কল্পনাই করা যায় না

 

         শুন্য হলো মূলত সংখ্যার অনুপস্থিতিকে বোঝায় একটি ঝুড়িতে শুন্যটি আম আছে বলতে ঝুড়িতে আমের অনুপস্থিতিকে বোঝায় তাই বলে শুন্যকে হেলাফেলা করার কোন সুযোগ নেই কোন সংখ্যার শেষে ১টি করে বসাতে থাকলে সংখ্যাটির মান ১০ গুণ করে বাড়তে থাকে আবার, সংখ্যার পুর্বে যত ইচ্ছে তত বসালেও সংখ্যার মানের কোন পরিবর্তন হয় না ঠিক এর উল্টো ঘটনা ঘটে দশমিকের ক্ষেত্রে দশমিকের পরে উপর্যুপরি বসালেও সংখ্যার মানের কোন পরিবর্তন হয় না কিন্তু দশমিকের পর ১টি অংকের আগে দশমিক এবং অংকের মাঝে যত বসানো হবে, সংখ্যাটি তত ছোট হতে থাকবে এই বিশাল মহাবিশ্বে আসলে শুন্যের অস্তিত্ব আছে কিনা তা নিয়ে অনেকে সন্দেহ পোষণ করেন (কারণ, শুন্য আসলে কোন কিছুর অনস্তিত্বকে প্রকাশ করে! )

 

    ২.শুন্যের যোগ বিয়োগঃ

          খুব বড় কিংবা খুব ছোট সংখ্যা, যাই হোক না কেন, তার সাথে শুন্য যোগ করলে সংখ্যাটি অপরিবর্তিত থাকে বিয়োগের ক্ষেত্রেও একই ঘটনা ঘটে অর্থাৎ, যোগ বিয়োগের কাছে শুন্যের সকল জারিজুরি খতম! যোগ বিয়োগ যখন উঠলই, তখন একটি বিতর্ক বারবার ছলে আসে সেটা হলো শুন্য ধনাত্মক নাকি ঋণাত্মক সংখ্যা অধিকাংশ গনিতবিদ মনে করেন যে শুন্য ধনাত্মক বা ঋনাত্মক কোনটিই নয় তবে কেউ কেউ শুন্যকে ধনাত্মক হিসেবে আখ্যায়িত করেছেন শুন্যকে ঋণাত্মক বললেও অবশ্য তাতে বিশেষ কিছু ক্ষতি হয় না তবে কিছু নগণ্য কারণে গণিতবিদগণ শুন্যকে ঋণাত্মক বলতে নারাজ

 

    ২..শুন্যকে গুণ ভাগঃ

          গুণ ভাগের ক্ষেত্রে শুন্যের রাজত্ব বহাল থাকে প্রথমে ভাগের কথা বলা যাক শুন্যকে যত ভাগেই ভাগ করা হোক না কেন, প্রত্যেক ভাগে শুন্যের কম বা বেশি পাওয়া যাবে না গাণিতিকভাবে দেখালে-

                                           0÷n=0                                  [n0 এবং n বাস্তব অবাস্তব সকল সংখ্যা ]  

আবার, ভাজ্য = ভাজক×ভাগফল সুতরাং,

                                           0×n=0  

অর্থাৎ, শুন্য দিয়ে কোন সংখ্যাকে গুণ করলে গুণফল হবে শুন্য

 

    ২.. শুন্য দিয়ে ভাগঃ

                 বহুদিন আগে =, এই প্রমাণটি দেখেছিলাম তখন প্রমাণটির নির্ভুলতা দেখে সত্যিই বিস্মিত হয়েছিলাম প্রমাণটি ছিল এরকম-

মনে করি,

             a=b

এখন,

           a2 – b2 = a2 – b2

          বা, a2 – b2 = a2 – ab                             [ যেহেতু, a=b ]

       বা, (a+b)(a-b) = a(a-b)

       বা, a+b = a                                         [ উভয়পক্ষকে a-b দ্বারা ভাগ করে ]

       বা, a+a = a

       বা, 2a = a

       বা, 2=1                                              [উভয়পক্ষকে a দ্বারা ভাগ করে]

 

গলদটা আসলে ছিল চতুর্থ লাইনে সেখানে a-b দ্বারা উভয়পক্ষকে ভাগ করা আসলে ছিল 0 দিয়ে উভয়পক্ষকে ভাগ করা এর অর্থ শুন্য দিয়ে কোন সংখ্যাকে ভাগ করা সম্ভব নয় ভাগ করা হলে হিসাবে এরকম সমস্যা হতে পারে অনেকে আবার কোন সংখ্যাকে শুন্য দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল অসীম হবে বলে মনে করেন তারা যুক্তি দিয়ে ব্যাপারটা প্রমাণ করার চেষ্টা করেন ভাগের ক্ষেত্রে ভাজক ভাজ্যের চেয়ে যত ছোট হতে থাকবে, ভাগফলও তত বড় হবে যদি ভাজক হয় শুন্যের কাছাকাছি একটি সংখ্যা, তখন ভাগফল হয়ে যায় অনেক বড় সংখ্যা এই যুক্তি দিয়ে বলা যায় যায় যে, ভাজক যদি হয়, তবে ভাগফল হবে অসীম একে দিয়ে লেখা হয় অর্থাৎ,

 

                                                                 n ÷ 0 =

                                                            বা, ×0 = 0

কিন্তু সেটা সম্ভব নয় এর সাথে কোন সংখ্যা গুণ করলে গুনফল হয় অর্থাৎ, দিয়ে কোন সংখ্যাকে ভাগ করলে ভাগফল এই মহাবিশ্বের কোন সংখ্যা হয় না এজন্য, একে বলে অসংজ্ঞায়িত

 

    ২.. আরও কিছু কাহিনীঃ

                   কোন সংখ্যা যদি শুন্যের চেয়ে ছোট বা বড় হয়, অর্থাৎ, x0 হলে,

                                                 x0=1

                                    কারণ,   x0 = xn-n                                                                      [am ÷an = am-n]

                                                   = xn ÷ xn

                                                                                =1

এখন, কথা আসতেই পারে, তবে = কত ? প্রশ্নের  উত্তর খোঁজার আগে কিছু কথা বলে নেওয়া দরকার শুন্য কে শুন্য দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হবে মহাবিশ্বের সকল সংখ্যা অর্থাৎ,

                                                   0 ÷ 0 = z                                                                               [z সকল সংখ্যা ]

                                         কারণ, z × 0 = 0

এজন্য, শুন্য শুন্যের ভাগফল হবে সকল সংখ্যা

 

                                        আবার,    0= 0                                                                              [x সকল ধনাত্মক সংখ্যা x0]

কারণ, কে যতই নিজের সাথে গুণ করা হোক না কেন, গুনফল সবসময়ই হবে

 

এখন যে কথা বলছিলাম তা নিয়ে আলোচনা করা যাকঅর্থাৎ, 00 = কত ?

                                    এখন,           00

                                                    = 0x-x

                                                                                  = 0x ÷ 0x

                                                              = 0 ÷ 0

                                                     = মহাবিশ্বের সকল সংখ্যা

 

যাদের, ফ্যাক্টোরিয়াল (!) সম্পর্কে ধারণা তারা হয়ত শুন্য নিয়ে একটা ব্যাপার জানে, তা হলো,

                                                        0! = 1                                       [x! = 1×2×3×.. .. .. .. ..×(n-1)×n]

 

                                আবার,             loga1 = 0      (a0),     [logab = x মানে  ax = b]

কারণ, কোন সংখ্যা্র সূচক হলে সংখ্যার মান হয় 1

                                অর্থাৎ,            loga0 = অসংজ্ঞায়িত

কারণ, কোন সংখ্যা হলে সংখ্যার কোন সূচক থাকলে সংখ্যাটির মান হবে না

 

শুন্য নিয়ে কথা বলা শুরু করলে সারা জীবনেও শেষ হবে না কারণ আমরা সবাই কোন না কোনভাবে সম্পর্কযুক্ত অদ্ভুত সংখ্যা এর সাথে

 

রহস্যময় পাইঃ

          কোন বৃত্তের পরিধি ব্যাসের অনুপাতকে গ্রীক শব্দ π দিয়ে লেখা হয় এই সংখ্যাটির মান সবসময়ই ধ্রুব হয় এর সঠিক মান আজও নির্ণয় করা যায় নি তাই পাই একটি অমূলদ সংখ্যা অর্থাৎ, একে দুইটি মূলদ সংখ্যার অনুপাত রূপে প্রকাশ করা যায় না আবার π এর বর্গও একটি অমূলদ সংখ্যা তাই একে কোন মূলদ সংখ্যার বর্গমূল রূপেও দেখানো যায় না সুপার কম্পিউটারের সাহায্যে π এর মান দশমিকের পর কয়েক মিলিয়ন ঘর পর্যন্ত নির্ণয় করা সম্ভব হয়েছে কিন্তু মহাবিশ্বের সবচেয়ে বৃহৎ বৃত্তের ক্ষেত্রেও পাই এর মান দশমিকের পর ৩৯ পর্যন্ত হলেই যথেষ্ট পাই এর আসন্ন মান হলোঃ 

     

                                                                π 3.141592654......

 

π কে বৃত্তের ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের অনুপাত রূপেও প্রকাশ করা যায় ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে π এর ব্যাবহার রয়েছে ব্যাপক দ্বিমাত্রিক বৃত্ত এবং ত্রিমাত্রিক গোলক, বেলন, কোণক ইত্যাদির ক্ষেত্রফল, পরিসীমা অন্যান্য জিনিস নির্ণয়ে π অত্যাবশ্যক

 

π এর সর্বোচ্চ সঠিক মান নির্ণয়ের কয়েকটি সিরিজ সূত্র রয়েছে এর মধ্যে সবচেয়ে সহজ কয়টি সিরিজ হলোঃ

 

                                π = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11.............

 

                                π = 12 (1- 1/3.3 + 1/5.32 1/7.33 +…..)

 

                                π/2 = (2/1.2/3.4/3.4/5.6/5.6/7.8/7.8/9 .........)             

                                                       
এছাড়া কয়েকদিন আগে আমি পাইয়ের সঠিক মান নির্ণয়ের দুটি সুত্র বের করেছি সম্ভবত এখনো পর্যন্ত এই সুত্র দুটিই π এর মান নির্ণয়ের সবচেয়ে সহজ সূত্র সূত্র দুটি এরকমঃ

                                                                        π = 2n × tan (45 × 22-n

                                                                         π=         10n

                                                                                                                           cot2(18 × 101-n)+1

এখানে, n এর মান যত বাড়ানো হবে, π এর তত নিখুঁত মান পাওয়া যাবে

 

পাই নিয়ে সবচেয়ে বেশি গবেষণা করেছে ভারত চীনের গণিতবিদেরা কিন্তু পাই সবার কাছে রয়ে গেছে অধরা তবু হাল না ছেড়ে আজও পাইয়ের রহস্য নিয়ে মাথা ঘামিয়ে চলেছেন গনিতপ্রেমী লোকজন

 

π এর মাঝামাঝিঃ

          π এর মাঝামাঝি অবস্থিত পূর্ণ সংখ্যা তিনটি হলো 1,2 3 মজার ব্যাপার হলো এই তিনটি পূর্ণ সংখ্যা নিয়ে গঠিত ভগ্নাংশের মান সবসময়ই π এর মাঝামাঝি অবস্থিত

 

          এছাড়া এই তিনটি পূর্ণসংখ্যা নিয়ে বলতে শুরু করলে আলোচনা শেষ হবার নয় কারণ 1,2 3- এই তিনটি সংখ্যা শাসন করছে সমস্ত সংখ্যা পরিবারকে তাই এদেরকে নিয়ে এখানে আর আলাদা করে আলোচনা করা সম্ভব হলো না

 

উপসংহারঃ

          0 π নিয়ে এখানে যা কিছু বলা হয়েছে তা এই সংখ্যা দুইটির মাহাত্যের তুলনায় কিছুই না কারণ, এরা আজীবন থেকেছে মানুষের ধরাছোয়ার বাইরে তবে, একদিন হয়ত এমন হবে যে 0 π নিয়ে সকল রহস্যের দার উন্মোচিত হবে মানুষ হয়ত বের করে ফেলবে সংখ্যা দুইটির ভিতরকার সব ধাঁধা

 

তথ্যসূত্রঃ

1.    The Elements ……………………………………………………………………… Euclid

2.    A New Introduction to Mathemetics………………………………………………  William Jones

3.    Foundation of Geometri…………………………………………………………… David Hilbart

4.    Hisab-al-Jabr W’ Al-Muqabala……………………………………………………  Abu Jafar Muhammad ibn Musa                             

                                                                                                                                    Al-khwarizmi